Miért működik a matematika a természetben?

  A természet a matematika nyelvén íródott. Ez a Galileitől származó megállapítás jól érzékelteti a matematika jelentőségét a természet megi...

 

A természet a matematika nyelvén íródott. Ez a Galileitől származó megállapítás jól érzékelteti a matematika jelentőségét a természet megismerésében. Az igazi nagy felfedezések szinte mindig tartalmaznak matematikát. Egy természettel kapcsolatos új ismeret igazán akkor felfedezés, ha matematikai képletekkel is le tudjuk írni a jelenséget. Amikor pedig a természetet akarjuk a szolgálatunkba állítani, szinte mindig használjuk a matematikát a tervezéshez. A matematikának központi szerepe van a természetben. A természet valóban a matematika nyelvén íródott. De miért van ez így? Miért lehet ilyen központi szerepe a matematikának? Egyáltalán, miért működik a matematika a világunkban?

A természet megismerése során a tudósok már számtalanszor rácsodálkoztak a matematika szerepére. Wigner Jenő erről a témáról írt, sok helyen idézett értekezése "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences" címmel is egyértelmű konklúzió nélkül járja körül a témát.

Vannak olyan elképzelések is, hogy igazából az univerzum nem más, mint egy matematikai struktúra. Max Tegmark Our Mathematical Universe című könyvében foglalkozik ezzel a gondolattal.

Tény, hogy a matematika valamiért, valahogy a természet lényege. Hogy ez miért lehet így, hogy valamilyen vélt vagy valós konklúzióra juthassunk, kövessük Wigner Jenő gondolatmenetét.

Mi a matematika?

A matematika a mennyiségek, és a mennyiségekkel végzett műveletek tudománya. A matematikai műveletek egy vagy több mennyiségtől egy másik mennyiséget képeznek. A műveletek a mennyiségekhez a matematikában értelmezett tulajdonságokat is rendelhetnek. A matematika ezen tulajdonságok között összefüggéseket keres, hasonlóságokat, közös jellemzőket állapít meg, és ez alapján csoportosít. A matematika a mennyiségekből a műveletek által létrehozott csoportokból és tulajdonságokból struktúrákat hoz létre és ezen struktúrák tulajdonságait vizsgálja.

Ez a meghatározás a geometriára is érvényes, hiszen a geometriát is kezelhetjük mennyiségeken és műveleteken keresztül.

Miért van egyáltalán struktúrája a matematikának? Miért léteznek struktúrák a matematikában? Miért lehet struktúrákat létrehozni a matematikával?

A matematika alapját diszkrét, egymástól egyértelműen elválasztott, azonos tulajdonságú elemek alkotják. Bármilyen közel is van két nem azonos szám egymáshoz, azok különböznek egymástól, és ha két szám egyforma, akkor azok minden tulajdonságukban megegyeznek. A műveletek erre az alapra építkezve kapcsolnak össze mennyiségeket, hoznak létre új tulajdonságokat és csoportokat. A műveletek az alapot alkotó mennyiségekre egyformán vonatkoznak. Azonos műveletek azonos eljárásokat jelentenek valamennyi, az alapot alkotó mennyiségre. A matematikai struktúrákat a matematikai műveletek hozzák létre. A struktúrákat a műveletekkel egymáshoz kapcsolt mennyiségek azonos tulajdonságú csoportjai, a létrejövő struktúrák tulajdonságai, ezek egymással kapcsolatban álló viszonyai alkotják.

Fontos jellemzője a matematikának, hogy a létrejövő matematikai struktúrák új, származtatott, a struktúra elemei által nem hordozott tulajdonságokkal is rendelkezhetnek.

Speciális esetként egyes műveletek az alap különböző mennyiségein azonos mennyiséget eredményezhetnek. Az ilyen műveletek úgynevezett szimmetriát hoznak létre az adott mennyiségek csoportjain. A szimmetriát létrehozó műveletek különlegesek, mert a különböző mennyiségeket azonos mennyiséghez rendeli, azaz a művelet elvégzése során az adott mennyiség azonos marad.

A matematika absztrakt tudomány, egy idealizált eljárás. A matematika nem foglalkozik a mennyiségek minőségével. A matematikában a minőség, azaz a fizikai valóság nem játszik szerepet. Az egy - mint mennyiség - vonatkozhat bármilyen dologra, az egy meg egy pedig mindenképp kettő, függetlenül attól, hogy összeadható-e a két dolog, van-e értelme a valóságban összeadni a két dolgot, vagy nincs.

A matematika a mennyiségekre vonatkoztatható szabályok rendszere, független attól, hogy mire vonatkozik az adott mennyiség. Ezért a matematika univerzális tudomány. A matematika tartalma, jelentése és szabályai a világegyetemünkben - még ha a világegyetemünk multiverzum is - mindenhol azonos.

Mi a fizika (és gyakorlatilag valamennyi természettudomány)?

A fizika a valóság, a létező világ, a természet leírása. A fizikán keresztül ismerjük meg a valóság alkotó elemeit, tulajdonságait, egymással való kapcsolatát, kölcsönhatásait. A fizika leírja a való világot, tényeket állapít meg a létező dolgokról, megfigyeli a tulajdonságait. Keresi, meghatározza és leírja a való világ építő elemeit, hogyan hatnak egymásra, hogyan kapcsolódnak egymáshoz, hogyan építenek a kölcsönhatások által struktúrákat.

A fizika vizsgálja az egyre komplexebb struktúrák felépülésének módját, a struktúrák tulajdonságait, kölcsönhatásait, szabályokat, törvényszerűségeket állapít meg.

A fizika alapvetően a valósággal foglalkozik, de a fizikát kiterjeszthetjük a nem tapasztalt valóságra is. Például a fizika foglalkozhat a multiverzummal is, de ebben az esetben is a cél a valóság megismerése. A multiverzumot is azért találjuk ki, mert úgy gondoljuk, hogy az a valóság része.

A fizika foglalkozhat alternatív valósággal is, de ebben az esetben is a fizika a megvalósulható valóságot keresi, a fizika feltételezi, hogy ezek az alternatív valóságok létezhetnek.

Fontos tulajdonsága a valóságnak, hogy a kölcsönhatások által létrejött struktúráknak új, a felépítő elemek által nem hordozott tulajdonságai jöhetnek létre.

A matematika és a fizika összehasonlítása - hasonlóságok és különbségek

A matematika absztrakt, a fizika konkrét tudomány

A matematika mennyiségekkel, a számokkal foglalkozik. Mindennek van mennyisége, de a mennyiség nem a dolgok belső tulajdonsága, hanem külső tulajdonság, ezért elvonatkoztatható az adott konkrét dologtól, ezért a matematika absztrakt módon, az anyagi minőségtől elvonatkoztatva kezelhető.

A matematika a mennyiséget ki is terjeszti, használja a nulla, a negatív, sőt, még absztraktabb mennyiségeket is, mint például az irracionális mennyiséget is.

A fizika konkrét tudomány, mindig valamilyen létező minőségre, dologra vonatkozik. A fizika nem elvonatkoztatható attól a valóságtól, amit tárgyal.

A matematika univerzális, a fizika specifikus tudomány

Mivel a matematika nem kötődik a dolgok minőségéhez, nem is függ tőle. A matematika bármilyen anyagi minőségen alkalmazható. Természetesen nem minden matematikai művelet értelmezhető és ezért nem minden matematikai művelet használható különböző anyagi minőségekre, de ez nem a matematika korlátja, hanem az anyagi világunk jellemzője.

A fizika megállapításai mindig az adott anyagi minőségre vonatkoznak, az anyagi minőségtől nem elválasztható. A fizika specifikus. Természetesen bizonyos fizikai törvények vonatkozhatnak többféle anyagi rendszerre is, de ez nem a fizika univerzalitását jelenti, hanem ez az anyagi világunk jellemzője.

A matematika tisztán teoretikus tudomány, a fizika alapja a megfigyelés.

Mivel a matematika nem foglalkozik az anyagi minőséggel, teoretikus, az anyagi világunkat nem figyelembe vevő módon kezelhető, formázható, fejleszthető. A működésének szabálya és korlátja az alapvető logika, a nyilvánvaló igazságok. Mivel a matematikát a valóság nem korlátozza, nem ellentmondásmentes tudomány (Göddel felismerés).

A fizika alapja és korlátja a megfigyelés, a létező világ. A fizika fejleszthető teoretikusan, akár csupán a matematika eszközeivel is - ilyenkor szoktunk rácsodálkozni a matematika szerepére a természetben -, mégis a legszebb teória, a leglogikusabb következtetés is bizonyulhat hibásnak a fizikában - ahogy az meg is történik sokszor - ha nem felel meg a valóságnak.

A matematika nem minden értelmezhető művelete értelmezhető művelete a valóságnak is. A valóság ezen tulajdonsága biztosítja egyben azt is, hogy a valóság ellentmondás mentes rendszert alkosson. Ha egy elméleti következtetés a fizikában ellentmondásra vezet, akkor az az elméleti út bizonyosan nem lehet érvényes a valóságban.

A matematikai megismerés eszköze az elméleti következtetés, de az ellentmondás mentesség nem zárható ki.

A fizika lényegét tekintve ugyanazt a feladatot végzi, mint a matematika. Mindkettő elemek összességével foglalkozik. A matematika az elemeken matematikai műveleteket végez, a fizika létező kölcsönhatásokat vizsgál. Mindkettő a műveletekkel-kölcsönhatásokkal létrejött új struktúrák tulajdonságaival foglalkozik.

A fizika annyiban több a matematikánál, hogy a minőséggel is foglalkozik, és ugyanezért kevesebb is nála. A fizika annyiban korlátozottabb a matematikánál, hogy a valóság az összes lehetséges lehetőségeknek egy részhalmaza.

Érdekes és fontos jellemzője mindkét tudománynak, hogy mindkettő lezárhatatlan. Mindkét tudományra jellemző, hogy a műveletek-kölcsönhatások során új rendszerek keletkeznek, új tulajdonságokkal. A fizikának az elméleti korlátját a megvalósult valóság végessége határozza meg, a matematikának nincs ilyen korlátja.

Mi a matematika és a fizika kapcsolata?

A matematika a fizikai megismerés eszköze. Mivel a matematika a mennyiségekkel, a valóság minőségétől független jellemzőjével foglalkozik, a matematikai műveletek érvényesek a fizikában.

Fordítva a kijelentés nem érvényes. A fizika nem eszköze a matematika megismerésének. A valós világ korlátozza a matematika érvényességet. Egy valós anyagi rendszerre nem minden matematikai művelet értelmes vagy értelmezhető. A fizika, a valóság korlátozza, hogy melyek azok a matematikai műveletek, amelyek érvényesek az adott anyagi rendszerre.

Alapvető tulajdonsága a fizikának, hogy azok a matematikai műveletek, amelyek az adott fizikai rendszerre érvényesek, univerzálisan érvényesek. Helytől, időtől, és egyéb körülményektől függetlenül működnek. Ezek a fizikai valóságunk szimmetriái. Ezen szimmetriák azért létezhetnek, mert az adott fizikai kölcsönhatások matematikai leírásában szimmetria létezik, érvényes.

A fizika és a matematika kapcsolata egyirányú. A fizika mindig követi a matematika (aktuálisan érvényes) szabályait, de a fizika, a valóság nem meghatározó korlátja a matematikának. A matematika korlátja a tiszta logika (ha egy bizonyítás lépései igazak, akkor a bizonyítás következménye, eredménye is igaz), kiinduló szabályai a nyilvánvaló, vagy absztrakt igazságok (például, ha két mennyiség különböző, akkor azok nem egyformák, vagy ha két egyenes nem találkozik, akkor nincs közös pontjuk).

A valóság megismerésében egy következtetés lépéseinek igazsága a tiszta logikán kívül (mellett, helyett) a megfigyelés pontatlan eszközeire is támaszkodik, az absztrakt igazságok pedig sokszor értelmezhetetlenek a valóságban (két alma különböző is lehet meg azonos is, és a valóságban nem létezik végtelen hosszúságú, de végtelenül vékony struktúra).

A valós világ, a fizika kölcsönhatásokra épül, a kölcsönhatások a valós világ műveletei. A kölcsönhatások szabályozzák a valós világ működését. A fizikai kölcsönhatásoknak specifikus szabályai vannak. Mivel a kölcsönhatások mennyiségeket is jelentenek, a fizikai kölcsönhatások a matematika eszközeivel leírhatok, azonban mivel a kölcsönhatások specifikusak, speciális jellemzőkkel bírnak, csak bizonyos meghatározott matematikai eszközök használhatók, érvényesek. Ezeknek a specialitásoknak a felismerése adja a fizika, mint tudomány célját, a matematika pedig eszközöket biztosít ennek a megismerésnek.

Miért működik a matematika a valóság megismerésében?

Mivel a valóság mennyiségekre épül, a matematika természetszerűleg alkalmazható a világ megismerésében. A valóságban megvalósuló, létező kölcsönhatásoknak a fizikai mennyiségekre vonatkozó specifikuma szabályozza, határozza meg, hogy mely matematikai műveletek alkalmazhatók az adott anyagi rendszerre. Például, a quantum mechanikában szükséges az irracionális számok használata. Miért? Azért, mert a quantum mechanika kölcsönhatásainak rendszere, struktúrája, szimmetriai megfeleltethető az irracionális számok műveleteinek, a matematikai eszközrendszer struktúrájának. A fizika más területein is hasonló megfeleltetések érvényesek.

A fizika fejlődése a megfigyelésen alapszik. Azonban, ha már képesek vagyunk egy közelítő képet alkotni az adott fizikai rendszerről és a kölcsönhatásairól, a fizika fejlődhet teoretikusan is, a logika eszközei segítségével, de minden új következtetés csak akkor tekinthető érvényesnek, ha a valóság, a megfigyelés támogatja, megfelel a következtetésnek.

A matematika mitől a nyelve a fizikának?

Ha a matematika ennyire idealizált és ennyire valóságtól független, hogyan lehet mégis ennyire alapvető, érvényes és meghatározó a fizikában?

Minden, ami eddig megállapításra került a matematikával és a fizikával kapcsolatban, igazolja a matematikának a szoros kapcsolatát a fizikával. Azonban minden eddigi megállapítás, bár lényegi dolog, nem mutat rá az alapvető kapcsolatra. Az alapvető kérdés továbbra is fennáll. Az egy meg egy miért kettő a fizikában is? Az egy meg egy miért mindig kettő mindenhol az univerzumban? A matematika mitől nyelve a fizikának? A valóság miért követi a matematika szabályait? Miért használhatók a fizikai mennyiségekre a matematika műveletei és szabályai?

Látszólag van kivétel ez alól a szabály alól. Látszólag lehet találni kivételt a természeti törvényekben, ahol nem érvényes a logikára épülő matematika. Például a sebességek össze adásában. Tudjuk, a speciális relativitáselmélet megmutatta, a valóság pedig igazolta, hogy az, ami az alapvető logika szabályai szerint érvényesnek kellene lennie, a sebességek egyszerű összeadása nem valós művelete a valóságnak. Mintha a valóság nem engedelmeskedne a matematikának. Mintha lenne kivétel a matematika univerzalitása alól. Valójában ebben az esetben sem a matematika érvényessége sérül. A matematika szabályai, műveletei a sebességek összeadására is érvényes, csakhogy a valóság, a valóságunk olyan, hogy a sebességeket nem az összeadás matematikai műveletével lehet összegezni. A sebességek összegzésére egy összetettebb matematikai összefüggés érvényes, amely - hogy a mi valóságunkra specifikus legyen - tartalmaz még egy természeti állandót is. A speciális relativitás elméletének sebességek összeadására vonatkozó matematikai művelete, tehát a matematika érvényes, legalábbis addig, amíg fel nem ismerünk egy még pontosabb összefüggést. A sebességek össze adásában nem a matematika volt pontatlan, hanem a valóság nem a matematika egyszerű összeadás műveletet használja, hanem egy annál bonyolultabb matematikai formulát. A matematikai formula, az abban használt általános matematikai műveletek érvényesek.

A fizika kapcsolata a matematikával nagyon szorosnak kell lennie, hiszen a matematika, az érvényes formája korlátlanul érvényes az adott fizikában. Előfordulhat, hogy időnként át kell írni a fizika matematikai képleteit, de soha nem azért, mert a matematika elvei bizonyulnak hibásnak, hanem azért, mert kiderül, hogy a valóságról alkotott, a tapasztaláson, megfigyelésen alapuló elképzelésünk pontatlan volt. A matematika hibátlan, a valóságról alkotott képünk - amelyre alkalmaztuk a matematikát, hogy leírjuk a szabályait - pontatlan.

Az alapvető kérdés azonban még mindig fennáll. A matematika műveletei miért érvényesek korlátlanul, bárhol, bármikor a fizikai valóságban?

A kérdés megválaszolhatatlannak tűnik, de talán van egy megközelítés, amely közelebb vihet a megoldáshoz. Fordítsuk meg a kérdést. Ne azt keressük, hogy miért működik a matematika a természetben. Arra próbáljunk meg válaszolni, hogy milyennek kell lennie annak a természetnek, amelyben a matematika működik. Milyennek kell lennie annak a valóságnak, aminek a matematika az alapvető leírási formája, a matematika az alapvető szabálya?

Ahogy az korábban megfogalmazásra került: a matematika azért létezik, azért van struktúrája, azért érvényesek a matematikai műveletek univerzálisan a matematikában, mert:

"A matematika alapját diszkrét, egymástól egyértelműen elválasztott, azonos tulajdonságú elemek alkotják. Bármilyen közel is van két nem azonos szám egymáshoz, azok különböznek egymástól, és ha két szám egyforma, akkor azok minden tulajdonságukban megegyeznek. A műveletek erre az alapra építkezve kapcsolnak össze mennyiségeket, hoznak létre új tulajdonságokat és csoportokat. A műveletek az alapot alkotó mennyiségekre egyformán vonatkoznak. Azonos műveletek azonos eljárásokat jelentenek valamennyi, az alapot alkotó mennyiségre. A matematikai struktúrákat a matematikai műveletek hozzák létre. A struktúrákat a műveletekkel egymáshoz kapcsolt mennyiségek azonos tulajdonságú csoportjai, a létrejövő struktúrák tulajdonságai, ezek egymással kapcsolatban álló viszonyai alkotják."

A matematika azért tudomány, azért működhet, a matematikai műveletek azért érvényesek a matematikán belül univerzálisan, mert a matematika alapját diszkrét, egymástól egyértelműen elválasztott, azonos tulajdonságú elemek alkotják. A fizikai kölcsönhatások megfeleltethetők a matematikai műveleteknek. Tehát abban a valóságban, amelyet diszkrét, egymástól egyértelműen elválasztott, azonos tulajdonságú elemek alkotnak, abban a valóságban, amely ezen alapra épül fel érvényesülhetnek a matematika műveletei. A valóságnak ilyennek kell lennie.

A matematika érvényességének következménye - konklúzió

Mivel a matematika műveletei helytől függetlenül mindenhol működnek a fizikai valóságban, a fizikai valóságunk minden helyszínére igaznak kell lennie ennek az állításnak, hogy a fizikai valóságukat egymástól egyértelműen elválasztott, azonos tulajdonságú elemek alkotják. Az üres térre is. Ahhoz, hogy a matematika általánosan érvényes legyen a fizikai valóságra, az üres tér alapjának is a diszkrét, egymástól egyértelműen elválasztott, azonos tulajdonságú elemeknek kell lennie.

A matematika a nullához végtelenül közeli és egymástól végtelenül kis távolságra lévő mennyiségekkel is tud dolgozni. Ezért is univerzális a matematika. A természet valószínűleg nem ilyen. A valóság nem kedveli a végtelent. A valóságunknak valószínűleg van legkisebb egysége és valószínűleg léteznie kell a legkisebb távolságnak is az egységek között. Ezen korlátok felett a matematika műveletei érvényesülnek az így felépült fizikai valóságban.

A logikát követve, a világunknak - ahol a matematika érvényes - ilyennek kell lennie. De vajon ilyen-e a világunk? A tapasztalat, a megfigyelés támogatja-e ezt a logikai következtetést? A legkisebbel foglalkozó tudomány, a kvantummechanika nem mond ellent ennek. A kvantummechanika már felismerte a legkisebb mennyiséget, ami a Planck állandóhoz köthető és a kvantummechanikában az üres tér sem üres, hanem egy mindenütt jelenlévő kvantumhabként viselkedik.

A legkisebb valóságról alkotott képünk nem mond ellent a matematika és a fizika kapcsolatáról alkotott elméleti következtetésnek. A relativitáselmélet, a nagy mennyiségekkel foglalkozó tudomány azonban kizárta az éter jelenlétét. Az igazság inkább az, hogy a relativitáselmélet nem kizárja az éter létezését, hanem nem látja az éter jelenlétét és nincs szüksége az éter létezésére.

A matematika általános érvényessége azonban sugallja, hogy egy alapstruktúra létezhet a természetben. Az éter, mint alap struktúra létezhet a fizikai valóságban is, csak nem úgy, ahogy azt a relativitás elmélete eredetileg feltételezi.

Why does mathematics work in nature?

Fizika {button_primary}  Matematika {button_primary}  Természet {button_primary}  Tudomány {button_primary}  Univerzum {button_primary}